于是，我们就得到了n个矩形面积之和的表达式：
因为n是矩形的个数，n越大，矩形的数量就越多，那么这些矩形的面积之和就越接近曲线围成的面积。所以，如果n变成了无穷大，我们从“直觉”上认为，这些矩形的面积之和就应该等于抛物线围成的面积。
与此同时，如果n是无穷大，那么这个表达式的后两项1/2n和1/6n²从直觉上来看就应该无限趋近于0，或者说等于无穷小，似乎也可以扔掉了。
于是，当n趋向于无穷大的时候，面积S就只剩下第一项1/3。所以，我们就把抛物线y=x²与x轴在0到1之间围成的面积S算出来了，结果不多不少，就等于1/3。
看完这种计算方法，大家有什么想说的？觉得它更简单，更神奇了，或者其它什么的？大家注意一下我的措辞，在这一段里我用一些诸如“直觉上”、“应该”、“似乎”这种不是很精确的表述。在大家的印象里，数学应该最精确、最严密的一门学科啊，怎么能用这些模糊不清的词来形容呢？
然而，这正是问题所在：不是我不想讲清楚，而是在这个时候根本就讲不清楚。别说我讲不清楚，牛顿和莱布尼茨也讲不清楚，这跟阿基米德用穷竭法求面积时的那种精确形成了鲜明的对比。
使用穷竭法求面积，比如为了得到4/3△ABC，阿基米德就去证明如果它大于4/3会出现矛盾，小于4/3也会出现矛盾，所以你就必须等于4/3。这是非常严密的，虽然操作上麻烦了点，但是逻辑上无懈可击。
但是到了17世纪，我们是怎么得到抛物线与x轴围成的面积等于1/3的呢？我们得到了n个矩形的面积公式：
然后，我们觉得当n越来越大的时候，后面两项1/2n和1/6n²的值会越来越小，当n变成无穷大的时候，后面两项应该就是无穷小。于是，我们就认为可以把它直接舍弃了，所以面积S就只剩下第一项1/3。
但问题是，无穷小是多小？从直觉上来看，不论n取多大，1/2n和1/6n²都应该是大于0的，我们可以直接把0舍掉，但是对于并不等于0的数我们能直接舍弃掉么？这样做的合法性依据在哪里？
相对于古希腊的穷竭法，17世纪这种“统一用矩形来逼近原图形”的想法简单了不少，但同时也失去了一些精确性。虽然它计算的结果是正确的，但是它的逻辑并不严密。逻辑不严密的话，你拿什么保证你今天这样用是正确的，明天我那样用它还是正确的？
想想数学为什么这么令人着迷，为什么《几何原本》至今都保持着无与伦比的魅力？不就是因为数学的血液里一直流淌着无可挑剔的逻辑严密性么？
