古希腊人或许早就知道17世纪这种更简单的计算方法，但是因为方法不够严密，所以他们压根不屑于使用。他们宁可绕弯使用更麻烦，但是在逻辑上无懈可击的穷竭法，因为对他们而言：逻辑的严密性，远比计算结果的实用性重要。
在对严密性和实用性的取舍上，东西方走了截然不同的两条路：古代中国毫不犹豫地选择了实用性。他们需要数学帮助国家计算税收，计算桥梁房屋等建筑工程，计算商业活动里的各种经济问题。所以，代表中国古代数学的《九章算术》，里面全是教你怎么巧妙地计算这个计算那个。也因此，古代中国会有那么多能工巧匠，会有那么多设计精巧的建筑工程。
西方则截然相反，古希腊人坚定不移的选择了严密性。他们需要严密的逻辑帮他们认识世界的本原，认识世界是由什么组成的，为什么世界会是现在这个样子。所以，代表西方古代数学的《几何原本》就是教你怎么从5个显而易见的公理出发，通过严密的逻辑一步步推导出400多个多定理，即便这些定理并不显而易见。因此，西方能诞生现代科学。
失去简单性，数学会失去很多；失去严密性，数学将失去一切。至于如何让它变得严密，后面我们会细说。
我们从开篇到现在一直在讲面积，而微积分的名字里刚好又有一个“积”字，那么，这两个“积”字有没有什么联系呢？答案是肯定的。
我们可以把微积分拆成“微分”和“积分”两个词，积分这个词当初被造出来，就是用来表示“由无数个无穷小的面积组成的面积S”。
如上图所示，如果一条曲线y=f(x)和x轴在a和b之间围成的面积为S，那么，我们就可以这样表示这部分面积S：
在第2节的例子里，我们求的是抛物线y=x²与x轴在0到1之间围成的面积。那么，在这里f(x)=x²，a=0，b=1，而且最终我们知道这个结果等于1/3，把这些都代入进去我们就可以这样写：
