有一种重要的数学思想叫做函数思想, 就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系,通过函数的形式,把这种关系表示出来,运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.
函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用:
1. 利用函数图象解决问题;
2. 用函数的观点研究方程(组)、不等式(组) 的解;
3. 建立目标函数,运用函数的性质去解决问题.
函数是初中数学的主要内容,有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数,要研究它们的性质和图象.
古典数学又称为常量数学,而函数则是变量数学的重要标志。法国数学家勒内·笛卡儿在他的《几何学》中第一次出现了变量和函数的思想。对此恩格斯给予了极高的评价:“数学中转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了。”
最值问题是历史悠久富有魅力的难题,历来颇受数学爱好者的青睐。关于二次函数的最值问题,常常会用到以下结论:
1、把二次函数的解析式化为顶点式y=a(x-h)² k,(a,h,k≠0)
当a>0时,(抛物线开口向上,图象有最低点,)二次函数有最小值k。
当a<0时,(抛物线开口向下,图象有最高点,)二次函数有最大值k。
2、把二次函数化为一般形式y=ax² bx c,利用顶点坐标公式[-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)]可求最大或最小值:
顶点坐标公式
当a>0时,(抛物线开口向上,图象有最低点,)二次函数有最小值(4ac-b²)/(4a)。
当a<0时,(抛物线开口向下,图象有最高点,)二次函数有最大值(4ac-b²)/(4a)。
以上结论是如何得到的呢?我们可以用配方法来探究一下。
最后一步是一个非常重要的结果,值得用下图强调一下。
可以看作二次函数的顶点式
我们来分析一下它的含义。
也可以概括为:
把二次函数化为顶点式y=a(x-h)² k
当a>0时,函数最小值为f(h)=k,
当a<0时,函数最大值为f(h)=k,
下面举例说明以上结论的实际应用。
例一:如图,△ABC 中,∠B=90°, AB =6cm, BC =12cm,点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm的速度移动,点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒2cm的速度移动,如果 P 、 Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?
解析:本题需要用到函数思想,以已知条件为原料,所求答案为目标,通过构造函数,用运动和变化的观点来分析和解决问题。
容易想到,设时间为自变量x,三角形面积为函数。求函数解析式需要用到小学学过的三角形面积公式。
三角形的两条直角边是变量,可以用匀速直线运动公式s=vt来描述。
据题意可写出函数解析式,整理得
y=x(6-x)
这是一个二次函数:y=-x² 6x
由顶点坐标公式可知抛物线顶点坐标为(3,9),即当x=3时,函数最大值为9。
所以,经过3秒钟△PBQ 的面积最大,最大面积是9(平方厘米)。
最后再顺便说一下二次函数y=ax² bx c,(a≠0)的参数a,b,c的含义:
a决定抛物线的开口方向,已知a和b可以求出抛物线的对称轴,抛物线和y轴的交点坐标是(0,c),已知a,b,c可以用顶点坐标公式求出抛物线顶点坐标。
科学尚未普及,媒体还需努力。祝阅读愉快,再见。