将一元函数积分推广来看对于连续函数 f(x,y) 如何求二重积分. 每个二重积分都可以方便地用定积分的方法分步进行计算.
矩形区域上的二重积分设 f(x,y) 在矩形区域 R: a<=x<=b, c<=y<=d 上有定义. 如果 R 被分别平行于 x 轴和 y 轴的直线网格所划分成许多小块面积 ∆ A="∆ x∆ y" . 如下动画所示
当网格不断进行细分使 ∆x 和 ∆y 都趋近零时, 则趋于 R 的面积趋近于极限值, 则称该极限值为 f 在 R 上的二重积分, 记为:
值得注意的是 f 函数的连续性是二重积分存在的一个充分条件, 对于许多不连续的函数, 该极限也存在.
二重积分的性质连续函数的二重积分也有一些代数性质:
