二重积分和曲面积分的关系,第一类曲面积分与二重积分的关系

当 f(x,y) 为正函数时, 则可以把矩形区域 R 上的 f 函数二重积积分视为曲面为 z=f(x,y) 的棱柱体的体积.

现在 计算 xy 平面内矩形区域 R ： 0<=x<=2， 0<=y<=1 在平面 z=4-x-y 下面的体积。 求其二重积分的过程请看下面的动画。

也就是说体积可以这样计算出来: 先固定 x, 将 4-xy 先关于 y 从 y=0 到 y=1, 然后再对所得 x 的表达式关于 x 从 x=0 到 x=2 积分. 则体积可以写成表达式:

上述表达式称为二重积分或累次积分(iterated integral).

Guido Fubini(圭多.富比尼) 在1907年证明了矩形域上任意一个连续函数的二重积分都可以用两种累次积分的任一种次序计算.