一个例子主成分分析（principal components analysis，简称PCA）是一种降维分析，将多个指标转换为少数几个综合指标，由霍特林于1933年首先提出。
主成分分析方法之所以能够降维，本质是因为原始变量之间存在着较强的相关性，如果原始变量之间的相关性较弱，则主成分分析不能起到很好的降维效果，所以进行主成分分析前最好先进行相关性分析。
中心城市的综合发展是带动周边地区经济发展的重要动力。因而，分析评价全国35个中心城市的综合发展水平，无论是对城市自身的发展，还是对周边地区的进步，都具有十分重要的意义。
原始数据及指标解释。我们选取了反映城市综合发展水平的12个指标，其中包括8个社会经济指标，分别为：—非农业人口数（万人）；—工业总产值（万元）；—货运总量（万吨）；—批发零售住宿餐饮业从业人数（万人）；—地方政府预算内收入（万元）；—城乡居民年底储蓄余额（万元）；—在岗职工人数（万人）；—在岗职工工资总额（万元）。
4个城市公共设施水平的指标：—人均居住面积（平方米）；—每万人拥有公共汽车数（辆）；—人均拥有铺装道路面积（平方米）；—人均公共绿地面积（平方米）。
问题：请使用主成分分析，将这12个指标综合为少出几个综合指标。
在开始解决这个问题之前，有必要先了解一下主成分分析的基本原理及其求解方法。
主成分分析基本原理1、几何意义
如下图所示，平面上散落着N个点，无论是沿x1轴方向，还是沿x2轴方向，均有较大的离散性，即这些点所代表的信息由两个指标x1,x2所决定，若只考虑x1和x2中的任何一个，原始数据中的信息均会有较大的损失。
如果我们将坐标轴进行一个旋转操作，得到新的坐标轴y1和y2，如上图所示。则会发现这些点只在y1方向上有较大的离散性，即y1可以代表原始数据的绝大部分信息。
也就说原来需要2个指标才能表示的信息，经过一些处理后，变成只需要1个指标，而且不会损失太多的信息，即所谓的降维。
上述坐标旋转公式如下：
从公式可以看出，坐标旋转本质上是线性变换，将原来的x1和x2，通过线性变换转换为y1和y2。
所以主成分分析其实就是将原来的指标进行线性变换，生成新的指标，下面介绍主成分分析更一般的数学模型。
以下提到的数学理论，不感兴趣可以略过，因为主成分分析一般都是通过工具（如SPSS）进行，不需要手动计算！
2、数学模型
主成分分析数学上的处理是将原始的p个变量作线性组合，作为新的变量。
