它对 s > 1时有效。注意，当s = 1时，函数简化为调和级数。我们可以做一些奇特的数学运算，用下面的函数关系将函数解析到复平面上（除了s = 0和1时）：
现在我们要求s， ζ(s) = 0。既然奇数负整数的余弦值是0，那么ζ（-2n）对于正整数n是0。这些被称为平凡零点，因为余弦函数的性质使它为零。相反，我们感兴趣的是非平凡零点的情况。
已知所有非平凡零都有0到1之间的实部，称为临界带。结果是，如果s是一个非平凡零点（即ζ(s) = 0且s不是负偶数），那么对于一些值y，s = 1/2 iy（即s的实部是1/2），这就是所谓的临界线。
给定一条ℚ上的椭圆曲线E，其代数秩总是与解析秩重合吗？
椭圆曲线E，为方程y^2=x^3 Ax B的解集，且判别式∆=-16（4A^3 27B^B）≠0。这个约束条件保证了曲线足够好。
- 两个椭圆曲线。左边：y^2=x^3-1.5x 1。右边：y^2=x^3-4x 1
现在我们要求x和y是有理的，从而限制了椭圆曲线的解。这就是我们说的ℚ上的曲线。现在我们可以用这条曲线E来组成一群E（ℚ）。我们做了一个很简洁的二元运算：给定两个点，我们画一条直线通过它们，找到与E的第三个交点并将它反射到x轴上。
