这里，r_an是曲线的解析秩。
终于！我们可以把伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想简单地写成：
这些都意味着什么呢？结果是，计算代数秩相当困难，而解析秩稍微容易一些。这个猜想在解析领域和代数领域之间架起了一座桥梁。
杨-米尔斯存在性与质量间隙给定任何紧凑的简单规范群G，在ℝ⁴ （ℝ^4）上，是否存在一个非平凡量子杨-米尔斯理论，具有质量间隙 Δ > 0？
这里有一个简短的免责声明：我不是粒子物理学的专家，所以我将在这里给出我最好的表面理解（有错误之处，欢迎指正）。
这个问题要求的是让现代物理学在数学上变得严谨。
我们从规范对称的概念开始，这些本质上是我们如何描述一个物理系统的自由度。艾美·诺特的一个简单定理是，对于每一种对称，都有相应的守恒定律。例如：
- 时不变（也就是说，无论你是现在开始实验，还是在喝完茶5分钟后开始实验）直接产生能量守恒
- 平动不变性引起动量守恒
接下来，我们来看杨-米尔斯理论。
劳伦斯·克劳斯（Lawrence Krauss）给出了最好的解释。想象一个象棋棋盘，如果你把每个白方块换成一个黑方块，每个黑方块换成一个白方块，那么游戏基本上是相同的。没有发生太多的改变，所以这是一个相当简单的对称。
但是现在想象一下，我局部地改变了某个方块的颜色，并且在整个棋盘上随心所欲地这么做。棋盘看起来会很奇怪，但我可以写一本规则手册来解释我做的所有交换。这个规则手册规定了游戏如何进行。
所以，让我们回顾一下：
规范群是一个系统的一组（可能非常奇怪的）对称，这就产生了守恒定律，我们可以写一本“规则手册”，这是一个定义粒子如何相互作用的场，这就是杨-米尔斯理论。
这已经在电磁力和强核力的情况下做过了，它们完全用量子电动力学和量子色动力学来描述。
杨-米尔斯的存在论（我们马上就会讲到质量间隙）所要求的是，这种描述是否适用于所有的四种基本力？更进一步，他们能统一吗？
说到质量间隙，这些场中的一个激发实际上是粒子。质量间隙本质上是规定这些粒子的质量必须在下面，这样你就找不到任意轻的粒子。这就是我们在自然界中观察到的。它被称为质量间隙，因为在0和最轻的粒子之间有一个间隙。
因此，杨-米尔斯理论要想“擅长”描述现实，就提出这个质量间隙。
霍奇猜想设X为非奇异复射影流形。那么X上的每个霍奇类可以写成X复子簇上同调类有理系数的线性组合吗？
这是一个非常了不起的猜想。这里我就不详细讲了，因为这很难理解（未来几天，我会专门写一篇文章来解释）。
代数方程和几何图形之间有一种自然的交换。x^2 y^2-1= 0的解形成一个圆x y-1=0形成一条直线。
