这就跟我们判断跑步的速度是一样的道理：给定一个固定的时间，比如10秒（相当于固定的Δx），看看你能跑多远（相当于Δy），你跑得越远（Δy越大），我就认为你跑得就越快。当然也可以反过来，给定一个固定的距离，比如100米（相当于Δy），你跑的时间越短（Δx越小），我就认为你跑得越快。
把这两种情况综合一下，我们就能发现：固定时间（Δx）也好，固定距离（Δy）也好，最终起决定作用的是Δy和Δx的比值Δy/Δx。这个比值越大，你就跑得越快，对应的直线也就越陡。
所以，我们就可以在直线上随意找两个点，用它们纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值（Δy/Δx）来定义这条直线斜率。
学过三角函数的同学也会知道，这个斜率刚好就是这条直线和x轴夹角θ的正切值tanθ，即：tanθ=Δy/Δx。这就是说，直线和x轴的夹角θ越大，它的斜率就越大，就倾斜的越厉害，这跟经验都是一致的。
直线好说，关键是曲线怎么办？曲线跟直线不同，它完全可以在这里平缓一点，在那里陡峭一点，它在不同地方的倾斜程度是不一样的。所以，我们就不能说一条曲线的倾斜程度（“斜率”），而只能说曲线在某个具体点的倾斜程度。
于是，我们就需要引入一个新的概念：切线。
切线，直观地看，就是刚好在这点“碰到”曲线的直线。因为切线是直线，所以切线有斜率，于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。
传统上我们可以这样定义切线：先随便画一个直线，让这条直线与曲线有两个交点，这样的直线叫割线（仿佛把曲线“割断”了，如下图蓝色的AB）。然后，我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上，等到B点和A点重合之后，割线AB就变成了曲线在A点的切线。
这样做很符合人们的直觉，但是它在逻辑上会有一点问题：当B点向A点移时，它是什么时候从割线变成切线的？
重合的时候么？如果B点和A点重合，那就最后只剩下一个点了，我们知道“两点确定一条直线”，一个点怎么能确定一条直线呢？但是，如果B点和A点不重合的话，那么这就仍然是一条割线而不是切线啊。
于是，这样就出现了一个“一看非常简单直观，但是怎么说都说不圆”的情况，似乎两个点不行，一个点也不行，怎么办？
解决这个问题有一个很朴素的思路：要确定这条切线，让A、B两点重合是不行的，但是让它们分得太开也不行。最好就是让这两点靠近靠近无限靠近，但是就是不让它们重合。没重合的话就依然是两个点，两个点可以确定一条直线；无限靠近的话又可以把它跟一般的割线区分开来，这样不就两全其美了么？
也就是说，A、B两点必须无限靠近但又不能重合，这样它们的距离就无限接近0但又不等于0。这是什么？这不就又是无穷小么？
我们前面求曲线围成的面积的时候，核心思想就是用无数个矩形去逼近原图形，这样每个矩形的底就变成了无穷小。在这里，我们又认为当A、B两点的距离变成无穷小的时候，割线AB就变成了过A点的切线，是不是有点巧？它们之间的共性，大家可以好好体会一下~
好，利用无穷小定义了一点上的切线，我们就可以理所当然地用过这点切线的斜率来表示曲线在这点的倾斜度了。
如何求直线的斜率我们上面已经说了，我把这张图再拉回来：
直线的斜率等于在直线上两点的纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值，即Δy/Δx。
而切线是当曲线上A、B两点相隔无穷小时确定的直线，那么切线的斜率依然可以写成Δy/Δx，只不过这时Δx和Δy都无限趋近于0。
莱布尼茨就给这两个趋近于0却又不等于0的Δx和Δy重新取了一个名字：dx和dy，并把它们称为“微分”。
