已知：如图①，P点为锐角∠MON内一定点.
要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得△PAB的周长最小.
作图：如图②，分别作P点关于直线OM的对称点P'，关于ON的对称点P''，连接P'P''交OM于点A,交ON于点B,点A、点B即为所求，此时△PAB的周长最小，最小值为线段P'P''的长度.
证明：由轴对称的性质可知AP=AP',BP=BP'',△APB的周长AP AB BP=AP' AB BP'',当P'、A、B、P''四点共线时，其值最小.
结论：△PAB的周长最小为P'P''.
4.四边形周长最小
已知：如图①，P、Q为锐角∠MON内的两个定点.
要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得四边形ABPQ的周长最小.
作图：如图②，分别作Q点关于直线OM的对称点Q'，P点关于ON的对称点P''，连接P'Q'交OM于点A,交ON于点B,
点A、点B即为所求，此时四边形ABPQ的周长最小，最小值为线段P'Q' PQ.
结论：四边形ABPQ的周长最小为P'Q' PQ.
5.两动两定变式模型
已知：如图①，A、B为两个定点,P、Q为动点.
要求：在射线OM上找一点Q，在射线ON上找一点P，使得AP PQ QB最短最小.
作图：如图②，分别作A点关于直线ON的对称点A'，B点关于OM的对称点B'，连接A'B'交OM于点Q,交ON于点P,点P、点Q即为所求，此时AP PQ QB最小，最小值为线段A'B'.
结论：AP PQ QB最小为线段A'B'的长.
搭桥模型
模型1
已知：如图①，直线m∥n,A,B分别为m上方和n下方的定点（直线AB不与m垂直）.
要求：在m,n之间求作垂线段PQ,使得AP PQ QB的值最小.
解析：PQ为定值，只需要AP QB最小，可通过平移，使P,Q“接头”，转化为基本模型（将军饮马）.
作图：如图②，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A'，使得AA'=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n于点Q,交直线m于点P,线段PQ即为所求，此时AP PQ QB最小.
证明：由作图过程可知四边形QPAA'为平行四边形，则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时，QA' QB最小，即PA QB最小，又PQ长为定值，所以此时AP PQ QB的值最小.
模型2
