特别的：双曲线上任意点到实轴两端点连线斜率之积是定值e²-1。
2.双曲线直径长
双曲线直径长公式为：
其中k为直径所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。显然，直径存在的充要条件是|k|<b/a。
特别的：当k=0时，上式结果为2a，即为实轴；当k趋于±b/a，即渐近线斜率时，上式结果趋于无穷大。
焦半径1.焦半径长
焦半径长：|PF1|=|ex a|，|PF2|=|ex-a|（F1，F2分别为左右焦点，P点在右支上时，等式右端绝对值内取正，P点在左支上时取负）。
通过准线定义证明，过程略。
2.焦半径性质
以短焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切，以长焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆内切。
以P点在右支上举例进行证明：
证：设以PF2为直径的圆的圆心为O2，则圆O2半径为r2=(ex-a)/2，
以长轴为直径的圆的圆心为坐标原点O，圆O半径为r=a，
两圆心距离|OO2|=(ex a)/2=r r2，
故以PF2为直径的圆与以长轴为直径的圆外切。
同理可证，以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆内切。
3.焦点弦
焦点弦长公式为：
其中k为焦点弦所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。
当|k|<b/a时，焦点在焦点弦延长线上，当|k|>b/a时，焦点在焦点弦上，当|k|=b/a时，焦点弦不存在（或无限长）
特别的：当k=0时，上式结果为2a，即为实轴；当k趋于无穷大时，上式结果即为通径长：2b^2/a
4.焦点三角形
焦点三角形面积公式：
证明从略
双曲线与椭圆双曲线两顶点A1，A2和与y轴平行的直线交双曲线的两动点P1,P2，直线A1P1与A2P2的交点轨迹为等轴椭圆。反之亦然。
