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例如，当n=20=2·2·5，它的正因数为1, 2, 4, 5, 10, 20，故有
上面的例子隐藏着等式(1)的证明思路。根据算术基本定理，令为n的素数分解，则由于当n的因数d是平方数倍数时μ(d)=0，等式(1)左边的和式中只需考察d为p,p,…,p中某些相异数的积，以及d=1。这些d为：1=C(k, 0)个1,C(k, 1)个p,C(k, 2)个pp, …,C(k, k)=1个pp…p，其中C(k, i)=k!/[i!(k-i)!]为从k个物体中每次选取i个形成一组的所有组的个数。故由二项式定理，
现在我们着手证明莫比乌斯反演公式(I)。首先，根据算术函数g的定义并交换求和的次序（道理等同于将一组有限个数分别按两种方式分成若干小组，按各自方式先加组内数再把和数相加的最后总和一样。最简单的情形是：一组排成长方阵的数相加，无论一行一行地加还是一列一列地加，结果一样，即），(I)的右端
当c=n时，，而当1≤c<n时，由(1)式知。从而我们得到等式
