这就证明了(I)。
从算术函数f到算术函数g的函数值g(n)，由于定义以及反演公式(I)只是通过有限和的形式表达的，我们仅仅用到莫比乌斯函数的因数和公式(1)就“初等地”证出了莫比乌斯反演公式(I)。用同样的方法可以证明，若f和g满足(I)，那么它们也满足(*)。人们将g称为f的莫比乌斯变换（Möbius transform），而把f称为g的莫比乌斯逆变换（inverse Möbius transform）。注意，还有一个中文翻译也是“莫比乌斯变换”的英文数学术语Möbius transformation，它指的是将复数映成复数的线性分式变换w=(az b)/(cz d)。
如果在莫比乌斯变换中将f和g分别换成In f和In g，则(*)和(I)隐含下列乘法形式的莫比乌斯反演公式
前面已证莫比乌斯函数是积性的，它的因数求和算术函数通常记为ε，并且ε(n)=满足ε(1)=1及ε(n)=0(n>1) 。显然ε也是积性函数。这个性质可以推广为一般结论：若算术函数f是积性的，则由(*)定义的算术函数g也是积性的。可以这样证明它：令自然数m和n互素。由定义(*)，
因为m和n没有除1之外的正公因数，d=ab，其中a|m和b|n。显然a和b互素，故有
